Medián- és átlagszámítás: Miért vezet félre az átlag?

Ebben a bejegyzésben azt vizsgáljuk meg, hogy a számtani átlag miért adhat bizonyos esetekben félrevezető képet egy adatsorról, és mikor érdemes inkább a mediánt, a geometriai átlagot vagy a CAGR-t figyelni. Az átlag érzékeny a szélsőséges értékekre, ezért jövedelmek, hozamok és más pénzügyi adatok értékelése során önmagában nem mindig mutatja meg, mi tekinthető tipikusnak.

A medián kevésbé érzékeny a kiugró értékekre, ezért gyakran jobban jellemzi egy adatsor közepét. Befektetések esetén ugyanakkor nemcsak az átlag és a medián között kell különbséget tenni: az egymást követő időszakok hozamai összeszorzódnak, ezért a tényleges vagyongyarapodást a geometriai átlag, illetve évesített formában a CAGR mutatja pontosabban.

A cikkben az alábbi kérdésekkel foglalkozunk:

• Miért vezethet félre a számtani átlag?
• Mi a medián, és hogyan számítható ki?
• Mit mutat a szórás?
• Mi a probléma a befektetések egyszerű átlaghozamával?
• Mi a geometriai átlag?
• Hogyan számítható ki és értelmezhető a CAGR?

Miért vezethet félre a számtani átlag?

A számtani átlag kiszámításának módját valószínűleg mindenki ismeri. Az adatsor elemeit összeadjuk, majd az összeget elosztjuk az adatok számával.

Vegyük példaként a következő adatsort:

1, 10, 4, 8, 10, 5

Az adatsor számtani átlaga:

Átlag = (1 + 10 + 4 + 8 + 10 + 5) / 6 = 6,33

Ebből a példából még nem látszik igazán az átlaggal kapcsolatos probléma. Az átlag azonban könnyen félrevezetővé válhat, ha az adatsorban egy vagy több szélsőségesen nagy vagy kicsi érték szerepel.

Módosítsuk az előző adatsort úgy, hogy az utolsó 5-ös értéket 500-ra cseréljük:

1, 10, 4, 8, 10, 500

Az új számtani átlag:

Átlag = (1 + 10 + 4 + 8 + 10 + 500) / 6 = 88,83

Egyetlen adat módosítása miatt az átlag 6,33-ról 88,83-ra emelkedett, miközben az adatsor hat eleméből öt továbbra is 10 vagy annál kisebb. A 88,83-as átlag ezért nem tekinthető a megfigyelések többségére jellemző értéknek.

Hasonló jelenség figyelhető meg a jövedelmi adatoknál is. Ha egy viszonylag kis létszámú csoport rendkívül magas jövedelemmel rendelkezik, akkor ez a csoport jelentősen felfelé húzhatja az átlagjövedelmet. Emiatt az átlagkereset nem feltétlenül mutatja meg, hogy egy tipikus munkavállaló mennyit keres.

Az ilyen adatsoroknál érdemes a számtani átlag mellett a mediánt is megvizsgálni.

Mediánszámítás: mit jelent a medián?

A medián egy nagyság szerint sorba rendezett adatsor középső értéke. A medián az adatsort két azonos elemszámú részre osztja:

• a megfigyelések fele a mediánnál kisebb vagy azzal egyenlő;
• a megfigyelések másik fele a mediánnál nagyobb vagy azzal egyenlő.

Ha az adatsor páratlan számú elemből áll, akkor a medián egyszerűen a középső érték. Páros elemszám esetén a középső két érték számtani átlagát kell kiszámítani.

A medián kiszámítása az első példában

• Adatsor: 1, 10, 4, 8, 10, 5
• Sorba rendezve: 1, 4, 5, 8, 10, 10

Mivel az adatsor hat elemből áll, a középső két érték az 5 és a 8. A medián:

Medián = (5 + 8) / 2 = 6,5

Az adatsor számtani átlaga 6,33, mediánja pedig 6,5. A két érték közel van egymáshoz, mert az adatsorban nincs rendkívül nagy kiugró érték.

A medián kiszámítása a szélsőséges értéket tartalmazó példában

• Adatsor: 1, 10, 4, 8, 10, 500
• Sorba rendezve: 1, 4, 8, 10, 10, 500

A középső két érték a 8 és a 10, ezért:

Medián = (8 + 10) / 2 = 9

Ebben az esetben a számtani átlag 88,83, míg a medián mindössze 9. A jelentős eltérés arra utal, hogy az adatsor eloszlása erősen aszimmetrikus, és az átlagot egy szélsőségesen magas érték húzza felfelé.

A medián a szélsőséges érték megjelenése ellenére csak 6,5-ről 9-re változott. Ez mutatja, hogy a medián lényegesen kevésbé érzékeny a kiugró értékekre, mint a számtani átlag.

Átlagkereset és mediánkereset

Az átlagkereset kiszámításakor az összes vizsgált munkavállaló keresetét összeadják, majd az összeget elosztják a munkavállalók számával. Ha például egymillió munkavállalót vizsgálunk, akkor:

Átlagkereset = az egymillió munkavállaló összes keresete / 1 000 000

A mediánkereset meghatározásakor ezzel szemben a munkavállalók keresetét nagyság szerint sorba rendezik. Egymillió munkavállaló esetén az 500 000. és az 500 001. helyen álló munkavállaló keresetének átlaga adja a mediánt.

A mediánkereset tehát azt az értéket mutatja meg, amelynél a munkavállalók egyik fele kevesebbet, a másik fele pedig többet keres.

Az átlagkereset és a mediánkereset közötti jelentős eltérés gyakran arra utal, hogy a jövedelmek eloszlása jobbra ferde, vagyis a magas jövedelműek viszonylag kis csoportja felfelé húzza az átlagot. Az eltérés kapcsolatban állhat a jövedelmi egyenlőtlenséggel, de önmagában nem tekinthető annak teljes értékű mérőszámának.

A jövedelmi egyenlőtlenség átfogóbb vizsgálatához többek között a Gini-együtthatót, a jövedelmi deciliseket és a különböző percentilisarányokat is használják.

Magyarországon a keresetekre vonatkozó átlag- és mediánadatokat a Központi Statisztikai Hivatal rendszeresen közli. Nemzetközi összehasonlításokhoz az Eurostat és az OECD adatbázisai használhatók.

Az adatok összehasonlításakor mindig ellenőrizzük, hogy:

• bruttó vagy nettó keresetről van-e szó;
• egyéni vagy háztartási jövedelmet vizsgálunk-e;
• havi vagy éves adatokat közölnek-e;
• teljes munkaidős vagy valamennyi munkavállalót tartalmaz-e a minta;
• nominális vagy inflációval korrigált értékeket látunk-e.

Ezek eltérő fogalmak, ezért két adat csak akkor hasonlítható össze közvetlenül, ha azonos módszertannal készültek.

Az átlag önmagában nem mutatja meg, hogy az adatsor elemei mennyire helyezkednek el közel egymáshoz. Két adatsornak lehet azonos az átlaga úgy is, hogy az egyikben az értékek szorosan az átlag körül csoportosulnak, a másikban pedig jelentős eltérések figyelhetők meg.

Az adatok szóródásának egyik leggyakrabban használt mérőszáma a szórás. A szórás azt mutatja meg, hogy a megfigyelések jellemzően milyen mértékben térnek el az átlagtól.

• Alacsony szórás: az adatok viszonylag közel helyezkednek el az átlaghoz.
• Magas szórás: az adatok jelentősen eltérnek egymástól és az átlagtól.

Fontos pontosítás, hogy a szórás nem az átlag statisztikai megbízhatóságát méri. Az átlag becslési bizonytalanságának vizsgálatához többek között a standard hibát és a konfidenciaintervallumot használjuk.

A populáció szórásának képlete:

A képlet jelölései:

• x_i – az adatsor egy eleme;
• x̄ – az adatsor számtani átlaga;
• n – az adatsor elemszáma.

Vegyük ismét az első adatsort:

• Adatsor: 1, 10, 4, 8, 10, 5
• Átlag: 6,33

Az átlagtól való eltérések:

• 1 − 6,33 = −5,33
• 10 − 6,33 = 3,67
• 4 − 6,33 = −2,33
• 8 − 6,33 = 1,67
• 10 − 6,33 = 3,67
• 5 − 6,33 = −1,33

Az eltéréseket négyzetre emeljük, összeadjuk, majd populációs szórás esetén elosztjuk az elemszámmal, végül négyzetgyököt vonunk. Az eredmény megközelítőleg:

Szórás = 3,30

Ha ugyanezt a számítást a 1, 10, 4, 8, 10, 500 adatsoron végezzük el, a populációs szórás megközelítőleg 183,91. Ha az adatokat egy nagyobb sokaságból vett mintának tekintjük, és a mintaszórást számítjuk, akkor az eredmény megközelítőleg 201,46.

Ez a jelentősen magasabb érték jól mutatja, hogy az adatok között sokkal nagyobbak az eltérések.

A szórást azonban mindig az adatok mértékegységével és nagyságrendjével együtt kell értelmezni. Két eltérő nagyságrendű adatsor szórása közvetlenül nem feltétlenül hasonlítható össze. Ilyen esetben hasznos lehet például a relatív szórás, más néven variációs együttható.

Mi a probléma a befektetések átlaghozamával?

A számtani átlag problémája a befektetések hozamának értékelésekor is jelentkezik. Ha egymást követő időszakok hozamait vizsgáljuk, a hozamok nem összeadódnak, hanem egymásra épülnek, vagyis összeszorzódnak.

Emiatt az egyszerű számtani átlaghozam nem feltétlenül mutatja meg, hogy ténylegesen mennyivel nőtt vagy csökkent a befektetés értéke.

Tegyük fel, hogy egy befektetés két egymást követő évben az alábbi eredményeket érte el:

Időpont	Éves hozam	A befektetés értéke
Kezdőérték	–	1 000 000 Ft
Első év vége	+100%	2 000 000 Ft
Második év vége	−50%	1 000 000 Ft

Az első évben az egymillió forintos befektetés értéke megduplázódott, így kétmillió forintra nőtt. A második évben azonban 50%-kal visszaesett:

2 000 000 × 0,50 = 1 000 000 Ft

A befektetés a második év végére visszatért a kiinduló értékére, tehát a teljes időszak alatt nem keletkezett nyereség.

Az éves hozamok számtani átlaga ugyanakkor:

(100% − 50%) / 2 = 25%

A 25%-os számtani átlaghozam ebben az esetben félrevezető, mert a befektető vagyona két év alatt egyáltalán nem növekedett.

A jelenség egyik oka, hogy az azonos nagyságú pozitív és negatív százalékos változások nem oltják ki egymást. Ha egy befektetés értéke 50%-kal csökken, akkor az eredeti érték visszanyeréséhez már 100%-os emelkedés szükséges.

Veszteség	A veszteség ledolgozásához szükséges nyereség
−10%	+11,11%
−20%	+25%
−30%	+42,86%
−50%	+100%
−75%	+300%

Minél nagyobb a hozamok ingadozása, annál nagyobb lehet a különbség a számtani átlaghozam és a tényleges, összetett hozam között. Ezt a jelenséget gyakran volatilitási veszteségnek vagy varianciahatásnak is nevezik.

Mi a geometriai átlag?

Egymást követő időszakok befektetési hozamainál a számtani átlag helyett a geometriai átlag mutatja meg pontosabban az időszakonkénti összetett növekedési ütemet.

A geometriai átlag kiszámításakor az egyes időszakok bruttó hozamtényezőit szorozzuk össze. Egy 10%-os hozam hozamtényezője például 1,10, míg egy −20%-os hozamé 0,80.

Két időszak esetén a geometriai átlag képlete:

Geometriai átlag = √[(1 + r₁) × (1 + r₂)] − 1

A +100%-os és −50%-os hozam példájában:

√[(1 + 1,00) × (1 − 0,50)] − 1 = √(2 × 0,5) − 1 = 0%

A geometriai átlag tehát helyesen mutatja, hogy a befektetés éves összetett növekedési üteme 0% volt.

Ha nincs további befizetés vagy pénzkivonás, akkor a befektetés kezdő- és végértékéből kiszámított CAGR lényegében ugyanezt az évesített geometriai hozamot fejezi ki.

CAGR: jelentése, számítása és értelmezése

A CAGR az angol Compound Annual Growth Rate kifejezés rövidítése. Magyarul leggyakrabban összetett éves növekedési rátának vagy évesített összetett növekedési ütemnek nevezzük.

A CAGR azt mutatja meg, hogy mekkora állandó éves növekedési ütem vezetne a befektetés kezdőértékéből a vizsgált időszak végén elért értékhez.

A CAGR képlete:

A képletben:

• EV – a befektetés értéke az időszak végén;
• BV – a befektetés értéke az időszak elején;
• n – az évek vagy más vizsgált időszakok száma.

Szövegesen:

CAGR = (végérték / kezdőérték)^1/n − 1

Fontos, hogy az időszakok számát és a CAGR időbeli egységét egymással összhangban adjuk meg. Ha az n értéke években szerepel, akkor éves CAGR-t kapunk. Ha hónapokban számolunk, akkor havi összetett növekedési ütemet kapunk, amelyet külön kell évesíteni.

CAGR számítása a +100% és −50%-os példában

A befektetés kezdőértéke egymillió forint, végértéke két év elteltével szintén egymillió forint:

CAGR = (1 000 000 / 1 000 000)^1/2 − 1 = 0%

A CAGR tehát 0%, miközben a két éves hozam számtani átlaga 25%. A két mutató közül ebben az esetben a CAGR írja le helyesen a tényleges vagyongyarapodást.

Ide kattintva letölthető a CAGR-kalkulátor, amelyben a kezdőérték, a végérték és az időszakok számának megadásával kiszámítható az összetett növekedési ráta.

Egy további CAGR-példa

Tegyük fel, hogy egymillió forintot fektetünk be, és a befektetés az alábbi módon változik:

Időpont	Éves hozam	A befektetés értéke
Kezdőérték	–	1 000 000 Ft
Első év vége	+50%	1 500 000 Ft
Második év vége	−33,33%	1 000 000 Ft
Harmadik év vége	+20%	1 200 000 Ft

A három éves hozam számtani átlaga:

[50% − 33,33% + 20%] / 3 = 12,22%

A CAGR ezzel szemben:

CAGR = (1 200 000 / 1 000 000)^1/3 − 1 ≈ 6,27%

A befektetés tényleges évesített összetett növekedési üteme tehát körülbelül 6,27%, nem pedig 12,22%. A számtani átlag ebben a példában csaknem kétszer akkora értéket mutat, mint a tényleges összetett növekedési ráta.

A CAGR korlátai

Bár a CAGR a számtani átlaghozamnál pontosabban mutatja a hosszabb időszak alatt elért vagyongyarapodást, önmagában ez a mutató sem mond el mindent a befektetésről.

A CAGR legfontosabb korlátai:

• Nem mutatja meg az árfolyam ingadozását. Két befektetés CAGR-értéke azonos lehet, miközben az egyik egyenletesen, a másik jelentős visszaesésekkel növekedett.
• Nem mutatja meg a maximális veszteséget. A befektetés közben jelentős visszaesést, úgynevezett maximális lehívást is elszenvedhetett.
• Nem jelenti azt, hogy a befektetés minden évben azonos hozamot ért el. A CAGR egy számított, állandó éves növekedési ütem.
• Érzékeny a kezdő- és végpont megválasztására. Egy rendkívül kedvező vagy kedvezőtlen kezdőidőpont jelentősen befolyásolhatja az eredményt.
• Nem kezeli megfelelően a köztes befizetéseket és pénzkivonásokat. Ilyen esetekben pénzzel súlyozott hozamra, például belső megtérülési rátára lehet szükség.

Egy befektetés teljesítményének értékelésekor a CAGR mellett ezért érdemes megvizsgálni többek között:

• a volatilitást;
• a maximális visszaesést;
• a Sharpe-mutatót;
• az inflációval korrigált reálhozamot;
• a befektetés költségeit és adózását;
• a köztes pénzáramlásokat.

Mikor melyik mutatót érdemes használni?

Vizsgált kérdés	Elsősorban használható mutató	Fontos megjegyzés
Mekkora az adatok egyszerű középértéke?	Számtani átlag	Szélsőséges értékek jelentősen torzíthatják.
Mi tekinthető az adatsor tipikus középső értékének?	Medián	Kevésbé érzékeny a kiugró értékekre.
Mennyire térnek el az adatok az átlagtól?	Szórás	Az adatok szóródását, nem az átlag megbízhatóságát méri.
Mekkora az egymást követő időszakok összetett átlaghozama?	Geometriai átlag	Figyelembe veszi a hozamok egymásra épülését.
Mekkora volt a kezdő- és végérték közötti évesített növekedés?	CAGR	Nem mutatja meg az időközi ingadozásokat.
Mekkora a jövedelmi egyenlőtlenség?	Gini-együttható és jövedelmi aránymutatók	Az átlag és a medián eltérése csak kiegészítő információ.

Összefoglalás

A számtani átlag sok esetben hasznos és könnyen értelmezhető mutató, de önmagában nem mindig ad megfelelő képet a vizsgált adatokról. Ha az adatsorban szélsőséges értékek szerepelnek, akkor az átlag jelentősen eltérhet attól az értéktől, amely a megfigyelések többségére jellemző.

Ilyen esetben a medián gyakran jobban mutatja az adatsor tipikus középértékét. A szórás segítségével azt vizsgálhatjuk meg, hogy az egyes értékek milyen mértékben térnek el az átlagtól.

Befektetések értékelésekor különösen fontos megkülönböztetni a számtani és a geometriai átlaghozamot. Az egymást követő időszakok hozamai összeszorzódnak, ezért az egyszerű átlaghozam jelentősen túlbecsülheti a tényleges vagyongyarapodást.

A kezdő- és végérték közötti évesített összetett növekedést a CAGR mutatja meg. A CAGR azonban nem árulja el, hogy a befektetés milyen ingadozások, veszteségek vagy visszaesések mellett érte el a végső eredményt, ezért más kockázati mutatókkal együtt célszerű értelmezni.

A témát az alábbi cikkben folytatjuk: A megtévesztő „átlag” problémája a pénzügyekben .