Medián- és átlagszámítás: Miért vezet félre az átlag?

Az átlagkeresetek közzététele kapcsán jut eszembe mindig, hogy az átlagszámítás milyen könnyen torzíthat a valóságon, és mivel stratégiák tesztelésekor, eredmények, gazdasági adatok értékelésekor is használjuk az átlagszámítást, így gyakorlatilag a pénzügyek területén számos helyen előfordulhat ez a probléma az átlagszámítással. Bejegyzésemben megnézzük a medián számítás és az átlagszámítás közötti különbséget, megbeszéljük mikor, melyiket előnyösebb figyelemben venni. Témáink:

• Miért vezet félre az átlag, átlagszámítás?
• Mediánszámítás, medián számítás képlete
• Hogyan pontosítható az átlagszámítás?

Miért vezet félre az átlag, átlagszámítás?

Az átlagszámítás más néven számtani közép képletét valószínűleg mindenki ismeri. Annyit kell tennünk, hogy az összes vizsgált adatot összeadjuk, és elosztjuk az adatok számával. Például a következő adatsor (1,10,4,8,10,5) számtani átlaga a következő képlet szerint számítható ki.

Átlag = (1+10+4+8+10+5)/6 = 6,33

A fentiekből még nem látszik az átlagszámítással kapcsolatos probléma, de képzeljük el azt, amikor egy adatsort úgy szeretnénk értelmezni, hogy mi az az érték, mely a leginkább jellemző az adatsorra. Például az átlagos nettó keresetek vizsgálata során azt várjuk az átlagtól, hogy azt az értéket kapjuk, ami a lakosság átlagára, a többségre jellemző. Azonban, ha az adatsoron belül néhány nagyobb érték is van, akkor az átlag ettől az adatsorra jellemző átlagos értéktől el fog térni.

Ha például a fenti adatsorunkban egyetlen értéket megváltoztatunk és az 1,10,4,8,10,500 adatok átlagát számítjuk ki, akkor az eredmény 88,8 lesz. Azzal, hogy az utolsó számot 5-ről, 500-ra növeltem meg, az átlag is jelentősen megugrott. Képzeljük el a keresetek esetében a fenti szituációt, azaz ha a társadalomnak van egy kisebb része, akinek nagyon magas a keresete, akkor az átlag jelentősen eltér az adatsoron belüli többség keresetétől. Érdemes ezért az számtani átlagot mindig összevetni a medián értékkel is. A medián számításról a következő bekezdésben beszélünk.

Mediánszámítás, medián számítás képlete

A medián számítás egy adatsornak a középértéke. Ebben az esetben az adatokat nagyság szerint sorba kell rendeznünk és a középső adat lesz a medián érték. Ha az adatsor páros elemből áll, akkor a medián értéket a középső elemek számtani közepe (átlaga adja). Első esetben a medián számítás az alábbi képlet szerint történik:

• adatsor: 1,10,4,8,10,5,  sorba rendezve: 1,4,5,8,10,10 
• páros számról van szó, így a medián a középső két érték átlaga, azaz (5+8)/2= 6,5

A második esetben a medián számítás az alábbi képlet szerint történik:

• adatsor: 1,10,4,8,10,50,  sorba rendezve: 1,4,8,10,10, 500
• páros számról van szó, így a medián a középső két érték átlaga, azaz (8+10)/2= 9

Az első esetben az átlagszámítás képlete szerint 6,33 lett az átlag. Ennek medián értéke sem tér el nagyon, eredményül 6,5-öt kaptunk. Abban az esetben ha az adatsoron belül nincs nagy eltérés, akkor a medián és a számtani átlag egymáshoz közeli szám. A második esetben az átlagszámítás képlete szerint 88,8 lett az átlag. Ennek az adatsornak a medián értéke 9. Jelentős az eltérés, ami mutatja, hogy az adatsoron belül nagy az eltérés.

Ugyanez a helyzet az átlag fizetések esetén is, azaz van X millió munkavállaló egy országban. Az átlagszámítás során összeadják az összes munkavállaló jövedelmét, majd elosztják X-el. Ezzel megkapjuk az átlagot. A medián számításhoz pedig az X millió munkavállaló jövedelmét nagyság szerint sorba rakjuk, majd megnézzük X/2-nél mekkora érték található. Ez lesz a medián. Például van 30 millió munkavállaló, akkor sorba rendezzük a nettó fizetéseket, majd megnézzük a 15 milliomodik munkavállalónak mekkora a fizetése. Ez lesz a medián érték. Minél nagyobb az eltérés az adatsoron belül, annál nagyobb lesz az eltérés az átlag és a medián között.

Az alábbi képen az OECD adatbázisából nézhetjük meg az átlag (kék oszlop) és a medián (piros oszlopok) közötti eltérést. Minél nagyobb egy országban az átlag és a medián kereset közötti különbség, annál nagyobb a társadalmi egyenlőtlenség, azaz egy kisebb csoport jelentős jövedelemre tesz szert, ami az átlagot torzítja. A

(kép forrása: datawrapper.de)

A fenti táblázatból látható, hogy az Egyesült Államokban az átlag kereset 60 ezer dollár, a medián értéke kb. 30 ezer dollár, azaz a lakosság fele az átlagjövedelem felét keresi, azaz 30 ezer dollárt.

A magyar keresetekkel kapcsolatban nem találtam medián adatokat a KSH oldalán, de az Eurostat adatbázisából kérhetünk le adatokat. Akit ez érdekel a következő hivatkozást javaslom meglátogatni. Itt pedig az alábbi kép szerint kérhetjük le az adatokat, a mean az átlagot a median a medián adatokat jelenti. A kis nagyító ikonra kattintva az EU összes tagországának adatai lekérdezhetők.

Az Eurostat weboldalán ide kattintva egy alkalmazás is elérhető, melyben meg kell adnunk a havi nettó jövedelmünket, az eltartottak számát és a program megmutatja, hogy mennyivel keresünk többet, vagy keresnek nálunk többet az országban. Például írjuk ide beírtam az átlagos nettó keresetet: kb. 210.000 Ft.

Az eredmény pedig az lett, hogy a háztartások 10 százalékának van ennél magasabb egy főre jutó jövedelme Magyarországon. Néhány további adatok beírtam (nincs eltartott, egyetlen kereső van, tehát egy főre jutó jövedelmet vizsgáltam) és  a következő eredmények születtek.

Nettó jövedelem	Háztartások X százalékának van ennél nagyobb jövedelme
210.000 Ft	10%
180.000 Ft	20%
150.000 Ft	30%
130.000 Ft	40%
123.000 Ft	50%
90.000 Ft	70%
50.000 Ft	90%

A 123.000 Ft-ot kiemelném a táblázatból, ez gyakorlatilag a medián, azaz a háztartások felének 123.000 Ft alatti az egy főre jutó jövedelme, a másik felének pedig 123 ezer forint feletti. Az 50 százalék tehát a medián. A 10%, 20% stb. pedig a decilisek, azaz az adatsort 10 részre osztottuk. A táblázat többi sora nem pontos, azaz csak egy-egy mintavétel, tehát nem a 10%, 20%, 30% határát jelöli, ezt egyedül csak a medián értéknél néztem meg.

Hogyan pontosítható az átlagszámítás?

A bevezetőben utaltam rá, hogy bármely stratégia, módszer eredményét, hozamát leíró szám jellemzően egy átlag. Ugyanakkor van arra lehetőségünk, hogy mérjük az átlagtól való eltérést, mely egyúttal jelzi is az átlag megbízhatóságát. Ez az ún. szórás mutató (deviation), mely azt fejezi ki számunkra, hogy az adatsor egyes elemei milyen mértékben térnek el az átlagtól. Ha nagy a szórás, akkor az adatsoron belül az egyes elemek lényegesen eltérnek az átlagtól. Kisebb szórás esetén az eltérés mértéke alacsony. A szórás kiszámítása valamivel összetettebb művelet, az alábbi képlet szerint végezhető el.

Jelmagyarázat:

• Xi = a minta egy eleme
• X felülvonással = a minta átlaga
• n = minta elemszáma

A számítás lényege tehát, hogy kiszámoljuk a minta minden egyes elemére vonatkozóan az átlagtól való távolságát. A példánk szerint az alábbi adatok szükségesek:

• adatsor: 1,4,5,8,10,10
• átlag: 6,33

Átlagtól való eltérések kiszámítása:

• 1-6,33 = -5,33
• 10-6,33= 3,66
• 4-6,33= -2,33
• 8-6,33= 1,66
• 10-6,33= 3,66
• 5-6,33= -1,33

Minden egyes eltérést négyzetre emelünk, és összeadjuk: -5,33²+3,66²+-2,33²+1,66²+3,66² +-1,33²= 65,33. Végül a fenti összeget elosztjuk 6-al, és gyököt vonunk. Az eredmény pedig 3,3. Ha a fenti műveletet elvégezzük egy második, módosított adatsoron (például 1,10,4,8,10,50, átlaga 88,88), akkor a szórás értékének 201-et kapunk, mely jól jelzi, hogy az adatok lényegesen eltérnek az átlagtól, azaz a magasabb szórás jelzi, hogy az átlag kevésbé írja le a mögötte levő mintát.

Fontos látni azt is, hogy egy 6 elemből álló sorozat egyértelműen áttekinthető, azonban a legtöbb vizsgálatban több száz adat átlagából indulunk ki, melyet már nem lehet szemrevételezéssel ellenőrizni, így a szórás az egyik jó eszköz erre a célra. A szórás még bővíthető az eloszlásfüggvénnyel is, melyhez már valószínűségek is rendelhetők. Erről azonban nem itt, hanem egy önálló cikkben beszéltünk, lásd itt. A témát itt folytatjuk:

• Az átlaghozam félrevezeti a befektetőket, ezért a CAGR-t használjuk helyette
• A megtévesztő "átlag" problémája a pénzügyekben